TEORIA DE ERRORES

Alexander Caneva Rincón

Contenido

  1. Introducción
    1. Definiciones
    2. Cifras significativas
    3. Redondeo
    4. Operaciones
  2. Teoría de errores
    1. Tipos de errores
  3. Mediciones
    1. Tipos de medidas
    2. Error en suma y diferencia
    3. Error en el producto y la división
  4. Desviación
    1. Desviación de la media
    2. Desviación promedio
    3. Desviación estandard
    4. Ajuste de una recta por el método de mínimos cuadrados
  5. Normas sobre la presentación de gráficas
  6. Ejemplos
  7. Bibliografía

INTRODUCCION

El objetivo del presente documento es exponer las bases de la teoría de errores y del manejo de cifras significativas de la manera más sencilla posible, sin considerar rigurosas demostraciones, cálculos pesados o aglomeración de material con el fin de que el estudiante pueda utilizar estos conceptos de manera ágil y eficaz, para el mejor manejo de los datos obtenidos experimentalmente. En el documento además figura un apartado correspondiente al manejo de gráficas y en la penúltima parte del mismo se proponen varios ejemplos de aplicación del material expuesto. Para los interesados en profundizar en los temas tratados, al final del documento figura una lista de material bibliográfico.

DEFINICIONES

Instrumento de medida: dispositivo empleado para determinar el valor o la magnitud de una cantidad o variable.

Exactitud: la cercanía con la cual la lectura de un instrumento de medida se aproxima al valor verdadero de la variable medida.

Precisión: una medida de la repetibilidad de las mediciones. Dado un valor fijo de una variable, la precisión es la medida del grado con el cual, mediciones sucesivas difieren una de la otra.

Incertidumbre: grado de exactitud, seguridad o confianza con que fue hecha la medición.

Error: la desviación del valor verdadero al valor medido.

La diferencia entre exactitud y precisión puede aclararse con el siguiente ejemplo. Consideremos un reloj que además de no marcar la hora oficial, cada hora se adelanta 3 minutos con relación a ésta. Este es un instrumento que no es ni preciso ni exacto. Ahora, un reloj que ni se adelanta ni se atrasa, pero con respecto a la hora oficial tiene una diferencia constante de 5 minutos. Este es un instrumento preciso pero no es exacto.

Por último consideremos un reloj que ni se atrasa ni se adelanta y además marca la hora oficial. Este es un instrumento preciso y exacto.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

La exactitud de los datos obtenidos en un experimento depende tanto de los instrumentos de medida como de la calidad del experimentador. Por cuanto todo instrumento de medida tiene un límite de sensibilidad, es lógico pensar que al medir, por ejemplo el tiempo, con un reloj de pulsera, es imposible obtener una exactitud de milésimas o millonésimas de segundo. El correcto manejo de los datos obtenidos en un experimento, en cuanto a su precisión se refiere, se trabaja con las cifras significativas.

Al afirmar que la medición de cierta longitud dio como resultado 15,4 cm , se quiere decir que sobre el valor de 15 cm tenemos plena certeza, mientras que el 4 decimal es un tanto ambiguo y está afectado por cierto error. Lo único que se puede decir con seguridad es que el valor obtenido está más cerca de 15 cm que de 16 cm ó de 14 cm . Acerca de las centésimas no se dice nada. No sabemos si el resultado de la medición es 15,42 cm ó 15,38 cm , pero si que este valor se encuentra entre 15,35 cm y 15,45 cm, presentándose entonces una incertidumbre total de 0,1 cm . Como vemos no es lo mismo escribir 15,4 cm que escribir 15,40 cm ya que en este caso estamos afirmando que conocemos la longitud con una exactitud de hasta una centésima, (que es diez veces más exacto que en el caso anterior) y así, la incertidumbre es ya de una milésima de centímetro, es decir el valor de la longitud se encuentra entre 15,395 cm y 15,415 cm . Las dos cifras 15,4 cm y 15,40 cm implican métodos e instrumentos de medida que pueden ser diferentes.

De esta manera:


Todo este bloque de cifras contiene la misma información desde el punto de vista experimental. Se dice por lo tanto que todas ellas tienen el mismo número de cifras significativas que en este caso es de tres (3), compuesta de dos dígitos ciertos (15) y uno afectado por la incertidumbre (el 4 decimal). Sin embargo el número total de dígitos no representa necesariamente la precisión de la medición. Por ejemplo la población de una ciudad se reporta con seis cifras como 260 000 . Esto puede significar que el valor verdadero de la población yace entre 259 999 y 260 001 los cuales tienen seis cifras significativas. En realidad lo que significa es que la población está más cerca de 260 000 que de 250 000 ó de 270 000 . En notación decimal: ó .

REDONDEO

A continuación se exponen las normas para redondear un número cualquiera a un número dado de cifras significativas.

Sea A B C D E un número de 5 dígitos que se pretende redondear a tres cifras significativas.

A B C D E

último primer

retenido descartado

1) La última cifra retenida se incrementa en 1 si el primer dígito descartado es mayor que 5 .

Ejemplo:

NUMERO ORIGINAL
REDONDEO A DOS CIFRAS
OBSERVACIONES
1,86
1,9
1,869
1,9
1,87 (a tres cifras)
1,96
2,0
1,960
2,0
9,96
10

2) Si el dígito descartado es menor que 5 entonces el retenido no se altera.

Ejemplo:

nUmero original
redondeo a dos cifras
a tres cifras
1,84
1,8
1,84
1,849
1,8
1,85
1,842
1,8
1,84
1,80
1,8
1,80
1,809
1,8
1,81

3) Cuando el primer dígito descartado es justamente 5 y no existen otros dígitos a su derecha (por ejemplo redondear a 3 cifras 41,75 ó 3,865) o si hay sólamente ceros (por ejemplo redondear a tres cifras 41,7500 ó 9,7250) entonces el número retenido se aumenta en 1 sólo si al hacerlo se convierte en par.

Ejemplo:

NUMERO ORIGINAL
REDONDEO A DOS CIFRAS
1,35
1,4
1,350
1,4
1,55
1,6

4) Si el número descartado es justamente 5 y hay a su derecha dígitos diferentes de cero, entonces el último retenido se aumenta en 1.

Ejemplo:

NUMERO ORIGINAL
REDONDEO A DOS CIFRAS
1,9451
1,95
1,94510
1,95
1,94501
1,95



OPERACIONES

En general durante cualquier sesión de laboratorio usted va a tomar datos de diferentes variables físicas con diferente número de cifras y después efectuará con ellos diversas operaciones matemáticas con el fin de hallar el valor de otra variable. A continuación se dan algunas sugerencias sobre como manipular los datos obtenidos experimentalmente para que la respuesta final quede expresada en forma correcta.

1) El resultado de una operación de multiplicación, división o elevación a una cierta potencia tiene usualmente el mismo número de cifras significativas o a lo sumo una más, que la cantidad de la operación que tenga el menor número de cifras significativas.

Ejemplo:

Conociendo los lados de un rectángulo y queremos calcular su área .

según la calculadora:


Pero si la exactitud con que conocemos el valor del lado es de una milésima de centímetro y del lado es de una centésima de centímetro, es evidente que el resultado no puede tener una exactitud de una cien milésima. Por lo tanto la notación correcta, ateniéndonos a la regla expuesta sería:

(o, según sea la situación, teniendo en cuenta el redondeo)

2) Al sumar o restar el redondeo debe realizarse de tal manera que el resultado no tenga más decimales (no cifras significativas) que el número con menor cantidad de decimales.

Ejemplo:

(según la calculadora)

Pero según la regla enunciada la notación correcta sería

(limitándonos a una cifra decimal).

3) Un número como el 2 ó como en la expresión 2r ó en la expresión , se deben tomar con tantas cifras significativas como el número que más tenga en la expresión correspondiente.


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