PROPAGACION DE ERRORES


Cuando se presenta el caso en que deba calcularse, mediante una fórmula, una variable física que dependa de otras cantidades físicas medidas experimentalmente (lo que se llama determinación por métodos indirectos), una pregunta que surge es qué incertidumbre debe asociarse a la variable física calculada mediante la fórmula, y sus implicaciones en la presentación de gráficos.

Por ejemplo si me propongo calcular la velocidad promedio de un móvil, dividiendo la distancia recorrida X, cuya incertidumbre conozco, entre el tiemplo empleado t (con incertidumbre tambien conocida), pues puedo conocer la velocidad promedio dividiendo X entre t. Pero, Cuál es la incertidumbre de la velocidad media? Evidentemente la respuesta NO es dividir la incertidumbre de X entre la incertidumbre de t. Qué hacer entonces? Pues leer la teoría que viene a continuación y analizar detenidamente los ejemplos. Para ello debes clasificarte en alguno de los dos niveles que siguen:

1- Estudiante principiante (Sin mucha experiencia en derivadas).

2- Estudiante intermedio (Domina bastante bien las derivadas).

Fundamentos teóricos.

Para principiantes.

Modelo de propagación de errores (versión débil).

Aunque no existe mucho rigor matemático, una buena aproximación para el cálculo de la propagación de error consiste en tomar las cantidades físicas medidas y su respectiva incertidumbre . Luego se le llama cantidades por exceso a la medida mas su incertidumbre Ej: X+DX. Enseguida se le llama cantidades por defecto a la medida menos su incertidumbre Ej: X-DX. Luego se hacen los cálculos con la fórmula, denominando Cálculo por exceso al resultado de sustituir los valores de las cantidades por exceso en la fórmula. Posteriormente se hace el cálculo por defecto sustituyendo los valores de las cantidades por defecto en la fórmula. Finalmente, la incertidumbre será el promedio entre el cálculo por exceso y el cálculo por defecto (Al resultado del cálculo por exceso se le resta el resultado del cálculo por defecto y se divide entre dos. Eso sí, se toma el valor absoluto).

 

Para aclarar lo anterior está el siguiente ejemplo:

Fórmula:

, conozco X, D X, t y D t, y quiero conocer D V. Entonces hago lo siguiente :

Cantidades por exceso :

X+ = X+D X

t+ = t+D t

Cantidades por defecto :

X - = X-D X

t - = t-D t

Cálculo por exceso :

 

Cálculo por defecto :

 

Incertidumbre :

 

Fundamentos teóricos.

Para nivel intermedio.

Modelo de propagación de errores (versión fuerte).

Se parte de que se tienen varias cantidades físicas medidas con su respectiva incertidumbre

Basándose en resultados proporcionados por el cálculo diferencial, cuando se tiene una función dependiente de estas variables, su variación estaría dada por :

(5)

El problema de esta relación para estimaciones de incertidumbre en medidas de cantidades físicas radica fundamentalmente en que existe una gran probabilidad de que este cálculo arroje valores negativos, lo cual sería difícil de interpretar y aceptar físicamente. En vez de ello, se asume una postura diferente. Basándose en el hecho de que las medidas son mutuamente independientes, es posible darles un tratamiento similar a los vectores, basándose en el teorema de pitágoras, así :

(6)

y de nuevo, haciendo uso de la regla de la cadena se tiene :

(7)

La cual constituye la fórmula general para el modelo de propagación de errores, donde se vé claramente el carácter siempre positivo de la incertidumbre.

 

Aplicación de la fórmula.

 

Usualmente la aplicación de la fórmula (7) no es muy clara para estudiantes de primeros semestres, en vista de ello se ilustra el siguiente ejemplo.

 

Supónga que en un experimento de aceleración uniforme se desea encontrar experimentalmente el valor de la aceleración. Para ello se ha medido varias veces el valor de la distancia recorrida por un objeto y el tiempo que tarda en hacerlo. Supongamos también que estos estudiantes han seguido las indicaciones del primer laboratorio de este manual y han obtenido la desviación standard de la media de ambas variables, esto es .

 

A partir de las consideraciones del Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA), para la determinación de la aceleración se va a usar la relación :

(8)

No hay ningún tipo de problema para determinar el valor experimental de la aceleración, reemplazando en la ec.(8) por los valores promedios de la distancia recorrida y tiempo empleado, experimentalmente obtenidos. Para determinar la incertidumbre de la aceleración , primero se deriva parcialmente la ecuación con respecto a , considerando a t como una constante, y se obtiene :

(9)

luego se deriva parcialmente con respecto a t, considerando x como una constante, llegándose a :

(10)

Luego se aplica la ec.(7), que para el caso de estas dos variables queda :

(11)

Solo queda reemplazar en esta fórmula los valores de las variables para obtener la incertidumbre de la aceleración.

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